# 5.4. ¿Qué tenemos en común?

## Diccionario

## Aparearse

Definición:

  Unión de hembra y macho para que críen.

Ejemplo:

  La profesora explicó el apareamiento de los leones.

## Comprobar

Definición:

  Confirmar que algo es válido o adecuado.

Ejemplo:

  El camarero comprobó que el billete era verdadero.

## Considerar

Definición:

  Pensar sobre algo analizándolo con atención.

Ejemplo:

  Debes considerar todas las posibilidades de trabajo que tienes.

## Larva

Definición:

  Animal en estado de desarrollo que aún no ha adoptado la forma adulta.

Ejemplo:

  María tenía una caja con doce larvas de mariposa.

## Ruta

Definición:

  Camino o dirección en un viaje.

Ejemplo:

  Decidimos coger la ruta más corta para llegar a Córdoba.

# 1. Damos un paso adelante a la hora de descomponer números

En el apartado anterior has aprendido cómo la descomposición de números nos puede ayudar a la hora de organizar grupos.

Ahora vamos a comprobar de qué manera podemos utilizar mejor la descomposición de números.

## Máximo común divisor (m.c.d.) y mínimo común múltiplo (m.c.m.)

En los apartados anteriores hemos estado planificando un viaje y hemos tenido que hacer grupos.

Gracias al máximo común divisor (en adelante m.c.d.) se pueden hacer grupos del mayor número de personas posibles considerando clases diferentes.

El mínimo común múltiplo (en adelante m.c.m.) nos puede servir para controlar el paso de los vehículos por un determinado sitio y así saber cada cuánto tiempo tardarán en volver a coincidir en su ruta.

El m.c.m. de dos o más números es el menor múltiplo común de esos números.

El m.c.d. de dos o más números es el mayor de los divisores comunes de esos números.

Hay varias formas de calcular el m.c.m y el m.c.d. de dos o más números, que veremos a continuación

## Cálculo del m.c.d. y el m.c.m. de varios números sin descomponerlos en producto de factores

Para calcular el m.c.m. de dos o más números deberemos conocer los múltiplos de cada número y seleccionar el menor múltiplo común a todos.

Para calcular el m.c.d. deberemos encontrar primero los divisores de cada número y seleccionar el mayor de ellos que sea común a todos.

Ejemplo: Calcula el m.c.m. de 20 y 50

Múltiplos de 20={20, 40, 60, 80, 100, 120,...}

Múltiplos de 50={50, 100, 150,...}

El m.c.m. de 20 y 50 es 100. Se suele poner m.c.m. (20, 50)=100

Ejemplo: Calcula el m.c.d. de 20 y 50

Divisores de 20: D(20) = {1, 2, 4, 5, 10, 20}

Divisores de 50: D(50) = {1, 5, 10, 25, 50}

El m.c.d. de 20 y 50 es 10. Se suele poner m.c.d.(20, 50) = 10

## Cálculo del m.c.d. y el m.c.m. de varios números descomponiéndolos en producto de factores primos

Descompondríamos los números en productos de factores primos como hemos visto ya en el apartado anterior y luego, para calcular el m.cm, cogeríamos el producto de los factores comunes y no comunes elevados al mayor exponente y para el m.c.d. nos quedaríamos con el producto de los factores comunes elevados al menor exponente.

Ejemplo: Calcula, descomponiendo en producto de factores, el m.c.d. y el m.c.m. de 64 y 300.

- Primero descomponemos ambos números en producto de factores primos

\begin{array}{r|r} 64 &2 \\ 32 &2\\ 16 &2 \\ 8 &2 \\ 4 &2 \\ 2&2\\ 1 \end{array}

\begin{array}{r|r} 300 &2 \\ 150 &2\\ 75 &3 \\ 25 &5 \\ 5 &5 \\ 1 \end{array}

- A continuación escribimos la descomposición factorial de ambos números:

64 = 26

300 = 22 x 3 x 52

- Finalmente, calculamos el m.c.d. y el m.c.m. eligiendo el producto de factores que mencionábamos anteriormente:

Para el m.c.m.: producto de los factores comunes y no comunes elevados al mayor exponente.

Para el m.c.d.: producto de los factores comunes elevados al menor exponente.

m.c.d. (64,300) = 22 (el único factor común es el 2 y el de menor exponente es 22)

m.cm. (64,300) = 26 x 3 x 52 (el factor común es el 2 y elegimos el de mayor exponente, esto es 26, y los factores no comunes hay que seleccionarlos también, elevados al mayor exponente que aparecen.

Definición:

Confirmar que algo es válido o adecuado.

Ejemplo:

El camarero comprobó que el billete era verdadero.

Definición:

Pensar sobre algo analizándolo con atención

Ejemplo:

Debes considerar todas las posibilidades de trabajo que tienes.

Definición:

Camino o dirección en un viaje

Ejemplo:

Decidimos coger la ruta más corta para llegar a Córdoba.

## Lectura facilitada

# 2. Practicando el cálculo del m.c.d. y el m.c.m. de varios números

Ahora se trata de que practiques calculando el m.c.d. y el m.c.m. de varios números y aplicarlo a la resolución de problemas.

# Opción A: Calculamos el m.c.d. y el m.c.m. sin descomponer en producto de factores

Calcula, sin descomponer en producto de factores primos, el m.c.m. y el m.c.d. de 6, 15, 30. Luego, escribe esos valores en los huecos en blanco.

El m.c.d. es: Rellenar huecos (1):JXUwMDZi

El m.c.m. es: Rellenar huecos (2):JXUwMDZiJXUwMDAz

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Para hallar el m.c.m.:

Múltiplos de 6 = { 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, ... }

Múltiplos de 15 = { 15, 30, 45, 60, 75, ... }

Múltiplos de 30 = { 30, 60, 90, 120, ... }

El primer múltiplo común es 30, y ese es el m.c.m.

Para hallar el m.c.d.:

Divisores de 6 = { 1, 2, 3, 6 }

Divisores de 15 = { 1, 3, 5, 15 }

Divisores de 30 = { 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30 }

El mayor divisor común es 3, y ese es el m.c.d.

# Opción B: Analiza y averigua qué debes realizar

# Pregunta

Imagina que los grupos A y B de 3ºESO de 26 y 30 alumnos van de excursión. Si se quieren hacer grupos del mayor tamaño posible, sin mezclarse las clases, y con el mismo número de alumnos, tengo que calcular:

# Respuestas

Opción 1

El m.c.m.

Opción 2

El m.c.d.

# Retroalimentación

Tu respuesta no es correcta.

Debes calcular el m.c.d.

Como se tienen que hacer grupos del mismo tamaño sin que sobre ningún alumno de ninguna clase, debe ser un divisor común a ambos números, y además el máximo posible.

¡Correcto!

# Solución

1. Incorrecto (Retroalimentación)
2. Opción correcta (Retroalimentación)

# Pregunta

Imagina que en una excursión se divide el alumnado después de comer. Unos van a coger el tranvía y otros el autobús para hacer un recorrido por la ciudad. Los dos medios de transporte salen del mismo punto de partida y hacen un recorrido circular por la ciudad. El tranvía tarda 20 minutos en dar una vuelta completa mientras que el autobús tarda 15 minutos. Queremos calcular las vueltas que deben dar y el tiempo que tardarán en volver a coincidir en ese mismo punto de partida autobús y tranvía, ¿Qué debo calcular?

# Respuestas

Opción 1

El m.c.m.

Opción 2

El m.c.d.

# Retroalimentación

¡Correcto!

Tu respuesta no es correcta.

Debe ser un mútiplo común de 15 y 20 y además el menor de ellos para que sea la primera vez que coincidan tras la salida conjunta. Luego se divide el m.c.m. entre 15 y obtendremos las vueltas que precisa el autobús, y si dividimos el m.c.m. obtendremos las vueltas que dará el tranvía.

# Solución

1. Opción correcta (Retroalimentación)
2. Incorrecto (Retroalimentación)

# Opción C: Calculamos el m.c.d. y el m.c.m. mediante la descomposición en factores

Calcula el m.c.d. y el m.c.m. de 60 y 40 descomponiendo estos números en producto de factores. A continuación, escribe las respuestas en los recuadros en blanco.

El m.c.d. es: Rellenar huecos (1):JXUwMDZhJXUwMDAy

El m.c.m. es: Rellenar huecos (2):JXUwMDY5JXUwMDAzJXUwMDAy

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Las descomposiciones en producto de factores primos son:

60 = 22 x 3 x 5

40 = 23 x 5

Luego el m.c.d. (producto de factores comunes elevados al menor exponente) = 22 x 5

y el m.c.m. (producto de factores comunes y no comunes elevados al mayor exponente) = 23 x 3 x 5

# Opción D: Practica con el método que quieras y comprueba el resultado

https://www.geogebra.org/m/n2sbzk7t (Ventana nueva)

Proyecto%20REA%20Andaluc%EDa,https%3A//www.geogebra.org/m/n2sbzk7t,GG_MAT1ESO_REA01_RECTAREAL_V01,0,Autor%EDa

# Opción E: Sitúa en el orden correcto

Una compañía de autobuses turísticos ofrece una visita por la ciudad y tarda 60 minutos en ir y volver al punto de inicio. Otra compañía de autobuses tarda 80 minutos. Si salieron dos autobuses, cada uno de una compañía, hace una hora y media, ¿Qué tiempo tardarán en volver a coincidir en el punto de inicio ambos autobuses?

Ordena las siguientes etiquetas para llegar a la solución del problema.

- Tengo que calcular el menor de los múltiplos comunes (el m.c.m.)
- Descompongo en producto de factores primos los números 60 y 80
- Escribo los números acompañados de su descomposición
- Tengo que elegir los factores comunes y no comunes elevados al mayor exponente
- Multiplicando estos factores obtengo el tiempo que tardarán en coincidir
- Resto el tiempo que tardarán en coincidir a 1 hora y media (90 minutos) y obtengo el resultado

Comprobar

¡Correcto!

No es correcto... Respuesta correcta:

# Opción F: Analiza y resuelve

Resuelve el siguiente problema y completa los recuadros.

Luis y Lucía vuelven de la excursión a Ronda y trajeron dos cintas, una de 36 cm y otra de 120 cm, con los colores de la bandera de Andalucía. Ahora desean cortarlas y hacer trozos iguales, lo más largo posible, para regalar a sus amigos. ¿Cuánto debe medir cada trozo?

Cuando regalen las cintas a sus amigos han pensado en ir al cine. Luis va cada 18 días al cine y Lucía va cada 12 días, así que esperan volverse a encontrar nuevamente en el cine. ¿Cuándo volverán a coincidir en el cine?

Cada trozo de cinta debe medir Rellenar huecos (1):JXUwMDY5JXUwMDAz cm

Volverán a coincidir en el cine dentro de Rellenar huecos (2):JXUwMDZiJXUwMDA1 días

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Para calcular el tamaño máximo de la cinta a cortar, hay que calcular el m.c.d. de 36 y 120

Como 36 = 22 x 32 y 120 = 23 x 3 x 5 el m.c.d. (36,120) será: 22 x 3 =12

El tamaño máximo de la cinta a cortar será de 12 cm

Para calcular cáundo volverán a coincider en el cine, hay que calcular el m.c.m. de 18 y 12

Como 18 = 2 x 32 y 12 = 22 x 3 el m.c.m.(18,12)= 22 x 32 =36

Coincidirán dentro de 36 días

# Opción G: Juega y repasa los conceptos de este apartado

2

Observa las letras, identifique y rellene las palabras que faltan.

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## Clavis dice: ¿Qué tal te ha ido?

Acabas de terminar las actividades que te habrán ayudado a adquirir destreza en el cálculo del m.c.d. y el m.c.m. y su aplicación a la resolución de problemas.

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